橢圓問題“圓”形畢露
設(shè)橢圓方程為,令,則得圓方程:,若令,則得圓方程:.
用這個結(jié)論解題,不僅思路清晰,和諧美化,而且解題過程簡捷明快有新意,可以收到事半功倍之效.下面略舉二例說明.
例1 將橢圓與軸相交于,與軸相交于,在橢圓上任取一點,連接,延長后與軸相交于點,連接與軸相交于,求證:
1. 橢圓C:通過仿射變換,即可得到一個圓.
2.在仿射變換中,點分線段的比例是一個不變量。(例如:M是線段AB的中點,則變換之后這一性質(zhì)保持不變)
3.在仿射變換中,直線的斜率通常是可變量。
例如:垂直的兩條直線的斜率滿足,經(jīng)通過仿射變換后,,故.考慮的逆變換,可知
上述的結(jié)論,即是課本上運(yùn)用端點相減法得到的中點弦公式。
4.通過仿射變換將橢圓變換成圓之后,可以借用圓的幾何性質(zhì)簡化解題過程。
如:例1中,∽△QOB,可得;
例2中,在變換之后的圓的圖形中,M點為定點,直線l的斜率確定為定直線,故由(定長)即可運(yùn)用垂徑定理確定確定圓的半徑,進(jìn)而得到橢圓方程。
5.補(bǔ)充幾道題目,以作參考。
實例1:(2011年重慶高考數(shù)學(xué)理科第20題)
如題(20)圖,橢圓的中心為原點,離心率,一條準(zhǔn)線的方程為.
(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 設(shè)動點滿足:,其中是橢圓上的點,直線與的斜率之積為,問:是否存在兩個定點,使得為定值?若存在,求 的坐標(biāo);若不存在,說明理由.網(wǎng)KS5U.COM]
解:(I)由
解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
因為點M,N在橢圓上,所以,
設(shè)分別為直線OM,ON的斜率,由題設(shè)條件知
因此所以
所以P點是橢圓上的點,設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1,F(xiàn)2,則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值,又因,因此兩焦點的坐標(biāo)為
下面要討論的是這一數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的根源.
在圓中,OM與ON是兩條互相垂直的半徑,.則此時直線OM、ON的斜率之積等于-1,P點的軌跡是圓心位于點O、半徑為的圓.如下左圖所示.
現(xiàn)對上述圖形考慮線性變換:.如右圖所示,向量的線性關(guān)系保持不變,直線與的斜率之積變?yōu)椋瑘A變?yōu)闄E圓,圓變?yōu)闄E圓.
實例2:(2012年浙江高考數(shù)學(xué)理科第21題)
AB被OP平分,在仿射變換前后保持不變。由于OP直線斜率給定,故直線AB的斜率確定。
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