“類比”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用-數(shù)學(xué)論文發(fā)表

摘要：高中數(shù)學(xué)中有許多同一知識(shí)體系中的不同概念及不同知識(shí)體系中的相關(guān)概念具有相同或相似點(diǎn)，在教師的教學(xué)與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可根據(jù)其相似性對(duì)它們進(jìn)行類比，根據(jù)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)推導(dǎo)出新的知識(shí)，既可讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)得輕松，也可以很好地培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：類比 概念  性質(zhì)  結(jié)論  方法

類比方法是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中最常用、最有效的方法之一，是從特殊到特殊、特殊到一般、或從一般到一般的間接邏輯推理方法。通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩類對(duì)象進(jìn)行比較，找出它們之間在某些關(guān)系或性質(zhì)上的相同或相似點(diǎn)，以此為依據(jù)，推測(cè)它們?cè)诹硗獾年P(guān)系或性質(zhì)上的相同或相似的結(jié)論。這是一種合情推理，盡管邏輯依據(jù)不是很充分，類比的結(jié)果具有或然性，但是，良好的類比給出的“相似”比較接近于事物的本質(zhì)，只要通過(guò)驗(yàn)證即行了。高中數(shù)學(xué)中的代數(shù)、立體幾何以及解析幾何中有許多的概念、定理、性質(zhì)、結(jié)論等有許多的相似之處，正因?yàn)樗鼈冇兄@人的相似，所以在學(xué)習(xí)中可以將相似的概念等進(jìn)行類比，通過(guò)類比的方法去理解、去體會(huì)，便可加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，從而提高學(xué)習(xí)效率。

1、等差數(shù)列與等比數(shù)列中的類比

等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于這兩個(gè)特殊的數(shù)列，它們的定義分別是：對(duì)于一個(gè)數(shù)列{a_n}，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的比值都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。根據(jù)其定義的相似性，在學(xué)習(xí)其性質(zhì)時(shí)，不妨將它們進(jìn)行類比。對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，有如下的關(guān)系：

（1）等差數(shù)列 用“差”定義 用“加法”表述性質(zhì)

類比　　　  　 類比

等比數(shù)列 用“商”定義 用“乘法”表述性質(zhì)

即在等差數(shù)列中用“差”或“和”表述的性質(zhì)，在等比數(shù)列中類比可得到相應(yīng)的用“商”或“積”表述的性質(zhì)。如：

① 在等差數(shù)列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且成等差數(shù)列，則a_m、a_n、a_r、a_s成等差數(shù)列，即a_n－a_m＝a_s－a_r；

在等比數(shù)列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且成等差數(shù)列，則a_m、a_n、a_r、a_s成等比數(shù)列，即 ＝  。

② 在等差數(shù)列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，則a_m+a_n=a_r+a_s；

在等比數(shù)列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且m＋n=r+s，則a_m·a_n=a_r·a_s 。

③ 在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為前n項(xiàng)的和，則S_k, S_2k-S_k, S_3k-S_2k, …成等差數(shù)列；

在等比數(shù)列{a_n}中，T_n為前n項(xiàng)的積，則T_k, , ,…成等比數(shù)列。

（2）等差數(shù)列中“某些項(xiàng)的和為0”可類比得到等比數(shù)列中“相應(yīng)項(xiàng)的積為1”。

例1、（2000年上海卷）在等差數(shù)列 中，若 ，則有等式

成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列 中，若 ，則有等式                   成立.

分析：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列中的類比方法，同時(shí)等差數(shù)列中的“0”與等比數(shù)列中的“1”類比，并且注意已知條件中“n＋（19-n）=2×10”，便可得到相應(yīng)結(jié)論：

在等比數(shù)列 中，若 ，則有等式 成立.

評(píng)注：一般地，對(duì)等差數(shù)列 ，如果 ，則

。所以有：

）（ ）。從而對(duì)等比數(shù)列 ，如果 ，則有等式： 成立。

（3）等差數(shù)列中的“n分之一”可類比得到等比數(shù)列中的“n次方根”。

例2、若數(shù)列 為等比數(shù)列，且 ， ，則數(shù)列 也為等比數(shù)列，類比上述性質(zhì)，若 為等差數(shù)列， 　　　　　　　，則數(shù)列 為等差數(shù)列。

分析：由上述類比方法可得結(jié)論：

若 為等差數(shù)列， ，則數(shù)列 為等差數(shù)列。

（4）等差數(shù)列中“某項(xiàng)的n倍”可類比得到等比數(shù)列中的“某項(xiàng)的n次冪”。

例3、等差數(shù)列 的前n項(xiàng)的和記為S_n，則 ，若等比數(shù)列 （ ＞0）的前n項(xiàng)的積記為T_n，類比等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式，可得結(jié)論：T_n＝　　　　　　　　。

分析：等差數(shù)列中的兩項(xiàng)的和可類比得到等比數(shù)列中相應(yīng)兩項(xiàng)的積，和的n倍可類比得到積的n次冪，等差數(shù)列中兩項(xiàng)和的二分之一可類比得到等比數(shù)列中兩項(xiàng)積的平方根，于是可得結(jié)論： ，或?qū)懗桑?（證明略）

通過(guò)類比加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，便于學(xué)生記憶與應(yīng)用。

2、函數(shù)中的類比

反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，根據(jù)反函數(shù)與其原函數(shù)之間的關(guān)系，在討論反函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，將其與原函數(shù)進(jìn)行比較，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。

根據(jù)反函數(shù)的定義及求法，不難發(fā)現(xiàn)原函數(shù)與反函數(shù)之間存在x與y互換的性質(zhì)。比如，原函數(shù)的定義域與反函數(shù)的值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系、原函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象之間的對(duì)稱關(guān)系無(wú)不反映這一點(diǎn)，在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，便可利用這一互為反函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行學(xué)習(xí)，在討論對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，只要將指數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)的“x”、“y”互換，即可得到對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

3、平面幾何與立體幾何的類比

在空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比中，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作類比：

 　 多面體         多邊形；         （平） 面          邊（直線）

        體 積          面 積 ；        二面角（多面角）        平面角

     面 積          線段長(zhǎng)；          … …

例4、如圖1，在三棱錐A－BCD中，截面B₁C₁D₁平行于底面BCD，若三棱錐A－BCD的體積為1， ，則三棱錐A－B₁C₁D₁的體積為    　  。

面積之比等于相似比的平方，則類比可得到在                           

立體幾何中，兩個(gè)相似多面體的體積之比等于

相似比的立方，此題中的三棱錐A－B₁C₁D₁與

三棱錐A－BCD是相似多面體，由已知可求得

AB₁＝AB，因此可求得 。

這種通過(guò)對(duì)知識(shí)的歸納類比，并總結(jié)出一般的結(jié)論的思考方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種基本的方法，它有助于我們養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，不斷地對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸類整理，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化。

4、平面向量與空間向量的類比

平面向量與空間向量的定義、運(yùn)算法則及它們的坐標(biāo)運(yùn)算都是一樣，只是維數(shù)不同，因此在高二（下B）學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，完全可以在高一平面向量的基礎(chǔ)上通過(guò)類比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。在平面向量中的一些結(jié)論可利用類比的方法得到空間向量中的結(jié)論，如：

（1）“平面向量中，兩個(gè)向量 與 共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 ＝λ ”，類比可得“空間向量中，三個(gè)向量 、 、 （ 與 不共線）共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ與μ，使得 ＝λ +μ ”；

（2）“平面向量中，A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)λ與μ，使得 ＝λ +μ ，且λ+μ＝1”，類比可得空間向量中，A、B、C、D四點(diǎn)共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ、μ與ω，使得 ＝λ +μ ＋ω ，且λ+μ+ω＝1”；

（3）在平面向量中有平面向量基本定理：如果 與 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù) ，使 ＝ ，在空間向量中，可由此類比得到空間向量基本定理：如果 、 、 是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)于空間的任一向量 ，有且僅有一組實(shí)數(shù) ，使 ＝ ；

5、解析幾何中的類比

解析幾何中的橢圓、雙曲線的定義非常相似，從定義上看，僅僅是“和”與“差（的絕對(duì)值）”的區(qū)別，并且它們有統(tǒng)一的第二定義，它們的第二定義也僅是常數(shù)e的取值范圍不同。因此，在討論了橢圓的幾何性質(zhì)后，便可類似地得到雙曲線的相應(yīng)的幾何性質(zhì)，如它們的范圍、對(duì)稱性、離心率等。

例5、（2003年上海春招題）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為 、 時(shí)，那么 與 之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值。試對(duì)雙曲線 寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。

分析：根據(jù)橢圓與雙曲線的定義與性質(zhì)的相似性，可得結(jié)論：若M、N是雙曲線 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為 、 時(shí)，那么 與 之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值。    

（證明略）。

6、在解題策略中通常采用規(guī)律類比、數(shù)形類比、形式類比等

解題過(guò)程中，借助類比將陌生對(duì)象和熟悉對(duì)象、未知規(guī)律和已知規(guī)律相互類比之后，往往達(dá)到啟發(fā)思路、舉一反三的效果。

例6、計(jì)算D=sin(α₁+α₁)sin(α₂+α₂)sin(α₃+α₃)+sin (α₁+α₂) sin (α₂+α₃) sin (α₃+α₁)+ sin(α₁+α₃)sin(α₃+α₂)sin(α₂+α₁) - sin(α₂+α₁)sin(α₃+α₃)sin(α₁+α₂)-sin(α₂+α₃)sin(α₃+α₂)sin(α₁+α₁) - sin(α₃+α₁)sin(α₁+α₃)sin(α₂+α₂) 。

分析：由求解式的構(gòu)成特點(diǎn)、規(guī)律類比到三階行列式，從而

     sin(α₁+α₁)  sin (α₁+α₂)  sin(α₁+α₃)      

 D=  sin(α₂+α₁)  sin(α₂+α₂)   sin(α₂+α₃)   

sin(α₃+α₁)  sin(α₃+α₂)   sin(α₃+α₃)      

  sinα₁  cosα₁     0     cosα₁    cosα₂  cosα₃    

=  sinα₂  cosα₂     0 ·    sinα₁   sinα₂   sinα₃      = 0.

   sinα₃   cosα₃     0      0       0       0

例7、求滿足方程組   y = 4x³ – 3x,

                     z= 4y³ – 3y,

                     x= 4z³ – 3z.  的實(shí)數(shù)（x,y,z）。（1990北京IMO集訓(xùn)題）

分析：由每個(gè)方程的形式聯(lián)想三倍角的余弦公式，用三角法。首先證明 ≤1，用反證法 ＞1由y = 4x³ – 3x=x(4x²-3)→ ＞ .同理 ＞ 、 ＞ ，矛盾。

因此可設(shè)x=cosθ，0≤θ≤ , 則 y=4cos³θ-3cosθ=cos3θ， z=cos9θ，x=cos27θ. 提出cosθ-cos27θ=0 → sin13θsin14θ=0,θ有27個(gè)解：

θ= ，k=0,1,2,┈,13;或者θ= ，k=0,1,2,┈,13。

所以，（x,y,z）=（cosθ,cos3θ,cos9θ）,其中θ= 或 且θ=0，1，2，┈,13。

另外，除了上述概念、定理、性質(zhì)之間的類比即解題方法的類比外，還有從特殊到一般的類比等等。

總之，知識(shí)的類比，實(shí)際上也就是新舊知識(shí)的遷移；方法的類比，也就是對(duì)知識(shí)的歸納與總結(jié)。張雄將類比分為簡(jiǎn)單共存類比法——根據(jù)對(duì)象之間具有簡(jiǎn)單共存關(guān)系而進(jìn)行類比推理；因果類比法——根據(jù)對(duì)象的屬性間可能有同一種因果關(guān)系而進(jìn)行的推理；對(duì)稱類比法——根據(jù)對(duì)象屬性之間具有對(duì)稱性而進(jìn)行的推理；協(xié)變類比（數(shù)學(xué)相似）法——根據(jù)對(duì)象屬性之間具有某種確定的協(xié)變關(guān)系（即函數(shù)變化關(guān)系）而進(jìn)行的推理；綜合類比法——根據(jù)對(duì)象屬性的多種關(guān)系的綜合相似而進(jìn)行的推理，數(shù)學(xué)中有降維與升維類比，等。作為教師，在教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地教給學(xué)生如何去進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)新舊知識(shí)的對(duì)比，找出它們的差異與相似的地方，通過(guò)類比得出新的知識(shí)，有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握。同時(shí)，只要學(xué)生學(xué)會(huì)了正確的方法，則可提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的自學(xué)能力。 

參考文獻(xiàn)：

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[4]張雄、李得虎，《數(shù)學(xué)方法論與解題研究》[M]高等教育出版社，2003.8