淺談高等幾何與初等幾何的關(guān)系

    數(shù)學(xué)是初高等教育中必不可少的重要組成部分，幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)的基本分支之一，是數(shù)學(xué)教育中的重點(diǎn)內(nèi)容。為了平衡初等幾何和高等幾何之間的教育，實(shí)現(xiàn)初等幾何向高等幾何的有效過(guò)渡，深入探討初等幾何和高等幾何之間的關(guān)系是非常必要的。下文筆者將從幾何學(xué)的基本概念出發(fā)，對(duì)高等幾何在幾何學(xué)中的重要地位進(jìn)行闡述，隨后詳細(xì)介紹初等幾何和高等幾何的關(guān)系。

一、幾何學(xué)的基本概念

    幾何學(xué)是研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，包括平面幾何、立體幾何、黎曼幾何等多種類型，在初等幾何學(xué)習(xí)中，主要涉及一些平面幾何和簡(jiǎn)單立體幾何的學(xué)習(xí)；高等幾何中會(huì)包含大部分的立體幾何以及黎曼幾何等的學(xué)習(xí)。幾何學(xué)在日常生活中有重要的應(yīng)用，比如建筑的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、空間分配與計(jì)算等，學(xué)習(xí)幾何學(xué)可以為中學(xué)生未來(lái)的工作生活打下良好的基礎(chǔ)。

二、高等幾何在幾何學(xué)中的重要地位

    高等幾何的解法是基于克萊因提出來(lái)的想法深入理解的，即是以變換群的理論為中心，基于一些定理，再對(duì)平面內(nèi)的幾何知識(shí)進(jìn)行解釋，通過(guò)對(duì)于歐式幾何，解析幾何，空間幾何，代數(shù)幾何等幾何的綜合，解決所需的幾何實(shí)際問(wèn)題。在幾何學(xué)的歷史上，高等幾何有重要的總結(jié)前人的作用，代表了最高的幾何地位。

三、高等幾何與初等幾何的關(guān)系

    高等幾何是是一種通過(guò)觀察來(lái)解決幾何問(wèn)題的方法，這種解決問(wèn)題的幾何方式不僅僅抽象而且很難以理解，但是對(duì)于復(fù)雜的幾何模型，這種高等幾何的方式往往很有用處，然而對(duì)比于高等幾何而言，初等幾何是一種直觀的幾何方式，能夠很快速的測(cè)量出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，得到最優(yōu)的解決方式。

(一)包含和被包含的關(guān)系

    在幾何的歷史上，初等幾何是基于歐式幾何發(fā)展而來(lái)的。歐式幾何的定義是在正交變換下，圖形的形狀和性質(zhì)都保持不變的內(nèi)容。由于正交變換群是相似變換的一種，仿射變換群射影變換群的一種類型，在數(shù)學(xué)上可以表示為，歐式幾何包含于相似度幾何，相似度幾何包含于仿射幾何，仿射幾何包含于射影幾何。

    歐式幾何的內(nèi)容思路可以分為射影性質(zhì)、射影不變量、仿射性質(zhì)、仿射不變量、相似性質(zhì)、相似不變量、磨量性質(zhì)、度量不變量等等，也就是說(shuō)在內(nèi)容上，歐式幾何包含相似度幾何，相似度幾何包含仿射幾何，仿射幾何包含射影幾何。從以上可以得知，歐式幾何涉及的內(nèi)容在幾個(gè)幾何中最大，影射幾何所包含的內(nèi)容在幾個(gè)幾何中最小。不同幾何內(nèi)容在課堂上的教學(xué)重點(diǎn)也很不一樣，歐式幾何是通過(guò)對(duì)圖像的直觀描述，對(duì)于空間架構(gòu)的繪制最后開(kāi)發(fā)人類的邏輯空間能力，讓學(xué)生一步一步地走上處理圖像之間的關(guān)系;解析幾何的重點(diǎn)在于對(duì)圖像的性質(zhì)研究，對(duì)空間幾何結(jié)構(gòu)組織描述;高等幾何在歐式幾何的基礎(chǔ)上上融合解析幾何的各種特點(diǎn)，也就是說(shuō)高等幾何的學(xué)習(xí)可以讓我們的思考更加全面，分析更加透徹，明白的指導(dǎo)各種幾何之間存在的優(yōu)缺點(diǎn)，并合理搭配使用，因此高等幾何和初等幾何之間的關(guān)系是包含和被包含的關(guān)系。 

(二)拓展和延伸 

    高等級(jí)和對(duì)于初等幾何而言，是一種知識(shí)和概念上的拓展和延伸。在概念上，中學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)中對(duì)于初等幾何也有一部分的研究，這是高等幾何的范疇。但是由于高等幾何等于中學(xué)生而言，涉及面太廣泛了，知識(shí)太充盈了，不能深入淺出的分析幾何問(wèn)題，所以在中學(xué)階段一般不提倡使用高等幾何方式解題，在中學(xué)生的幾何知識(shí)中，主要涉及的是圓和曲線之類的簡(jiǎn)單幾何圖案。因?yàn)槌醯葞缀未嬖谝恍﹩?wèn)題，對(duì)于很多的知識(shí)存在很大的局限性，無(wú)法很好的解釋一些獨(dú)特的現(xiàn)象，如果掌握了高等幾何，就可以利用高等幾何中的相關(guān)知識(shí)來(lái)觀察高等幾何與初等幾何之間的聯(lián)系和區(qū)別。

(三)提供理論依據(jù)

    高等幾何中對(duì)中心投影、度量不變形、仿射不變性、射影不變量和二次曲線的射影性質(zhì)、等內(nèi)容都進(jìn)行了分析和研究，這些都能為我們學(xué)習(xí)幾何學(xué)遇到的困難進(jìn)行解答。比如我們會(huì)思考:一個(gè)圓形可以用三個(gè)點(diǎn)唯一表示?在學(xué)習(xí)了初等幾何之后，我們無(wú)法利用這些只是解答我們的問(wèn)題，但是學(xué)習(xí)和掌握了高等幾何知識(shí)之后，我們就可以找到這個(gè)答案。因此學(xué)習(xí)高等幾何可以提高我們解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)我們?cè)诖髱缀螌W(xué)范疇內(nèi)討論問(wèn)題，理解問(wèn)題，而不是單純的記住問(wèn)題，可以對(duì)于所學(xué)的知識(shí)用到實(shí)處，提高學(xué)生的能力。

四、總結(jié)

    綜上所述，高等幾何對(duì)初等幾何而言，有著重要的指導(dǎo)作用，在中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的過(guò)程中，如果學(xué)會(huì)了高等幾何，那么在對(duì)于初等幾何的思路將會(huì)更加開(kāi)闊和解法多樣化，而且在邏輯方式和三維空間分析能力上將會(huì)有大幅度的提升。高等幾何對(duì)于中學(xué)生而言，有助于加深對(duì)初等幾何的理解和概括能力，從而對(duì)于其中的問(wèn)題將會(huì)有更加清晰的思路，這不再是掌握和模仿課本上的初等幾何知識(shí)，卻是提高思考問(wèn)題的方式和解法，可以把這種方式應(yīng)用到別的學(xué)科，這些類比、等效、相似等等方式，可以促進(jìn)中學(xué)生的空間想象能力，提升辯證唯物主義的思想，提高思想覺(jué)悟和邏輯思維，對(duì)于學(xué)生有大幅度的成績(jī)提升。

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