應急物流中成本與公平考量的博弈

應急物流的主要目標是在災難發(fā)生前后拯救生命和減輕人類痛苦。國內(nèi)外的諸多學者針對有限的資源，從物流成本[1]、需求滿足率[2]以及響應時間[3]等方面進行了大量的研究。然而，上述研究忽略了受益人得到公平援助的權益。疫情中的武漢和上海的物資分配問題凸顯了保障受益人權益的重要性。近年來，隨著人道主義原則的提出，越來越多的學者開始關注從受災者本身出發(fā)，緩解他們的心理創(chuàng)傷，尋求一種高效且公平的應急物資分配方案。

  目前國內(nèi)外關于衡量公平分配的函數(shù)沒有統(tǒng)一的標準，主流的研究采用剝奪成本[4]、最大最小函數(shù)[5]、嫉妒與同情函數(shù)[6]等構造表示公平性的函數(shù)。例如，Holguin-Veras 提出使用社會成本，通過在物流成本上增加剝奪成本作為災后物流模型的目標函數(shù)。剝奪成本被定義為 “無法獲得商品或服務有關的人類痛苦的經(jīng)濟價值”。朱莉[4]構建了一個多目標動態(tài)應急物資分配模型并提出相對剝奪成本來刻畫救援的公平性。陳瑩珍[5] 通過最大化物資的運輸量以及最小化最大運輸時間的目標函數(shù)來刻畫公平性。陳剛[6]構建了以總加權嫉妒值最小為公平目標，以總物流成本最小為效率目標的多目標數(shù)學優(yōu)化模型以應對災害初期物資分配以及路由規(guī)劃的問題。

關于應急物流公平性的研究中，大多數(shù)的研究都是將代表公平性的函數(shù)作為目標函數(shù)，一部分單獨將公平性作為唯一的目標函數(shù)，另一部分采用多目標規(guī)劃，公平性是其中的一個目標函數(shù)。對于多目標規(guī)劃，將公平性函數(shù)直接放到目標函數(shù)中，決策者可以直觀的到公平性與成本或者其他效用目標的均衡解。但是卻忽略了決策者對于不同目標的偏好，換言之，決策者不能實現(xiàn)自己期望的公平水平?；诖?，我們提出了約束導向的公平函數(shù)，將公平性函數(shù)作為約束條件，并設置一個公平偏差變量，決策者可以根據(jù)其對公平的偏好交互的得出基于其公平偏好水平下的物資分配方案。此外，關于公平函數(shù)的選擇，大多數(shù)研究構建的公平性函數(shù)都是線形化或者容易線形化的函數(shù)以方便尋求解決方案?？紤]到線形化的難度，關于福利經(jīng)濟學中反應收入差距的基尼系數(shù)作為公平性函數(shù)的研究并不多。在本文中，與其他研究所不同的是，我們嘗試引入了福利經(jīng)濟學中的基尼系數(shù)作為公平性的函數(shù)的表達。最后，不同于以往的研究，我們量化了成本與公平之間的博弈，即成本投入與公平性改善之間的定量關系。這對于決策者來說，可以直觀的感受到改善公平性所需要額外投入的成本，以方便決策者合理的做出災后救援的決策。

1  建模準備

2.1  問題描述與研究假設

在有限資源、車輛容量以及旅行時間限制下，考慮災害發(fā)生以后應急物資的分配以及車輛路由的規(guī)劃問題。簡單來說，為滿足多個受災點對于應急物資的需求，采用單批次多車輛調(diào)配策略，通過構建兼顧公平性（滿足決策者所提出的公平水平）和效率（最小化總社會成本）的應急物資分配模型，探究物資分配的公平性與社會總成本之間的平衡關系。

  本文重點關注公平改善與成本投入之間的關系，因此在單物資種類的變體VRP框架下構建模型，所提出的假設如下：（1）受災點的需求以及位置是已知的；（2）車輛規(guī)格相同，從倉庫滿載出發(fā)，返回倉庫時允許有未分配的多余物資；（3）如果需求未得到滿足，需求點的災民會產(chǎn)生心理創(chuàng)傷并且這一創(chuàng)傷可用經(jīng)濟損失衡量；（4）各個受災點僅接受單車服務，不允許多車多次服務。這一模型可以幫助我們獲得訪問受災點的順序、每個受災點分配應急物資的數(shù)量以及如此的調(diào)度方案所產(chǎn)生的社會成本以及公平水平。

1.2  符號說明

本文采用以下參數(shù)作為模型的輸入：

（1）集合

：倉庫  以及受災點的集合，；

：受災點的集合；

：網(wǎng)絡中的弧線集合；

：車輛的集合；

（2）參數(shù)

：公平偏差限制，決策者所要求達到的最低公平水平；

：極大的常量；

：車輛的容量；

：車輛的最大旅行時間；

：車輛的運營成本；

：車輛從  到  所產(chǎn)生的旅行成本，；

：車輛從  到  所花費的時間，；

：需求點  的需求，；

：車輛服務需求點  的服務時間，；

：車輛  到達需求點  的時間，；

（3）決策變量

：車輛  遍歷弧 ，則 ，否則，，；

：車輛  訪問需求點 ，則 ，否則，，；

：車輛  分配給需求點  的應急物資數(shù)量，；

：需求點  收到的應急物資，；

：車輛  從  直接運輸?shù)?nbsp; 的應急物資數(shù)量，；

1.3  公平指標與成本指標

基尼系數(shù)是國際上用來綜合考察居民內(nèi)部收入分配差異狀況的一個重要分析指標。當個體收入差距大時，基尼系數(shù)就高；相反，基尼系數(shù)就低?；嵯禂?shù)是根據(jù)洛倫茨曲線，即收入分布曲線計算的，其在洛倫茲圖中被定義為描述相對財富的曲線與平等線之間的面積與該線下的三角形面積之比[7]。在本文中，我們使用一種等效的數(shù)學表示法提出的相對公平的定義，來構建基于每個需求點收到應急物資數(shù)量的基尼系數(shù)表達。對于每個需求點所收到的物資數(shù)量 ，基尼系數(shù)： 

它是一個介于0和1之間的數(shù)值。數(shù)值0代表完全公平，即所有個人分享相同的資源收益或損失，而數(shù)值1則代表完全不公平。

此外，我們將應急物資分配模型產(chǎn)生的成本分為兩部分，一部分是從運營者角度考慮的運營成本，即運輸費用。另一部分是從受災者角度考慮的剝奪成本，即受災者因為需求未得到滿足產(chǎn)生的心理創(chuàng)傷成本。這一成本最初由Holguín-Veras所提出并廣泛的應用到應急物流中。鑒于模型假設僅考慮單物資，我們給出因缺乏應急物資而導致受災點  的創(chuàng)傷經(jīng)濟度量值：

其中， 和  是兩個常數(shù)。從剝奪成本的構建我們可以看出，這是一個成本隨著物資數(shù)量的匱乏呈指數(shù)增長的函數(shù)。

1.應急物資分配模型

基于上述建模準備，構建如下應急救援的物資分配模型，該模型

主要解決的決策問題是：在容量約束、旅行時間約束以及決策者所要求的最低公平水平約束下，尋找使得運營方的物流成本與被援助方的剝奪成本加總最小的分配策略以及路由調(diào)度方案。

目標函數(shù)（1）表示最小化社會總成本，其中包含車輛的運輸費用、車輛的發(fā)車費用以及需求點的剝奪費用，體現(xiàn)了應急救援的社會成本最小化；約束條件（2）表示可使用的車輛不能超過倉庫所擁有的車輛；約束條件（3）和（4）表示每輛車從倉庫出發(fā)然后返回倉庫并且已經(jīng)返回的車輛不能再次使用；約束條件是（5）流量平衡限制，即車輛訪問某個需求點后必須離開它；約束條件（6）表示每個需求點必須被訪問并且分批交付應急物資是不允許的；約束條件（7）表示只有車輛經(jīng)過需求點時，該需求點才會被訪問；約束條件（8）給出了車輛訪問需求點時交付給該點應急物資的數(shù)量；約束條件（9）是車輛的旅行時間限制；約束條件（10）是公平偏差限制，即模型求解得到分配方案的公平指標不能超過決策者所要求的最低公平限制，體現(xiàn)了應急救援公平的考慮；約束條件（11）和（12）是車輛的容量限制；約束（13）是車輛到達時間的約束；約束條件（14）表示如果車輛訪問某個需求點，那么必須給該需求點分配應急物資，這一約束的目的是防止模型為了滿足公平偏差限制，選擇不給任何一個需求點分配物資；約束條件（15）表示了變量的完整性與非負性。

由于約束條件（10）是一個非線形的約束條件，為了方便求解，將其轉化為線形約束：

其中，。

2  案例分析

2.1  案例介紹

2010年4月14日，青海省玉樹藏族自治州玉樹市發(fā)生6次地震，最高震級7.1級，震源深度13公里。以玉樹地震為案例場景，結合真實數(shù)據(jù)以及部分仿真參數(shù)，探究災后應急帳篷的運輸與分配問題。

依據(jù)玉樹地震的災情報告，選擇12個鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災點和災區(qū)附近玉樹市結古鎮(zhèn)作為應急物資集散中心。帳篷的重量為2kg/頂，需求量根據(jù)各個鄉(xiāng)鎮(zhèn)當?shù)氐木用駭?shù)量來估計；救援車輛的數(shù)量為6輛，每輛車的載重為40噸，行駛速度為50km/h且工作時間不超過8h；車輛的運營成本包括運輸成本以及發(fā)車成本，分別按照當?shù)孛抗锏挠秃膬r格以及當?shù)刎涇嚢l(fā)車的費用來估計；車輛訪問每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災點的服務時間一致為0.5h；車輛的行駛時間是由經(jīng)緯度計算得到的距離與行駛速度的比值；關于剝奪函數(shù)的系數(shù)，分別取 ， 。

2.2  求解方法

  傳統(tǒng)的VRP問題已經(jīng)被證明為NP-hard問題，而我們所構建的應急物資分配模型是VRP問題的變體，因此不難證明我們所要求解的模型也是NP-hard問題。目前關于此類問題的求解方法分為兩大類，一類是利用商業(yè)求解器，例如：CEPLEX、GUROBI等進行求解，此類求解器適用于小規(guī)模算例。另一個求解方法是設計啟發(fā)式算法，例如；遺傳算法、蟻群算法等進行求解，所得到的解并不是最優(yōu)解，而是一個近似最優(yōu)解，這一類求解方法適用于大規(guī)模算例。

  考慮到我們所探究的問題重點是成本與公平的平衡而不是求解的速度，并且所介紹的案例屬于小規(guī)模案例。因此我們使用python調(diào)用了GUROBI求解器對上述案例進行了求解。當然，針對大規(guī)模問題，我們這里也提供了啟發(fā)式算法設計的思路?？紤]一個兩階段算法，包含路由檢索階段與應急物資分配階段。（1）路由檢索階段，可以采用合適的搜索算法，盡可能多的搜索出滿足旅行時間等限制的路由。（2）應急物資分配階段，對于給定一個路由，我們給出滿足公平偏差限制的方案。（3）綜合考慮，對于路由檢索階段所搜索到的每一條路徑，我們采用應急物資分配階段的方法分別得到其目標函數(shù)值，最后找到所有路由中目標函數(shù)值最小的路由即為近似最優(yōu)的解決方法。

2.3  敏感性分析

  在本節(jié)中，我們通過調(diào)整公平偏差限制來探究成本與公平性之間的博弈。因為基尼系數(shù)是一個不超過1的數(shù)值，所以公平偏差限制應該在0-1之間。將  以0.1為步長，分別設置十個不同的 ，然后對該案例在不同  下進行求解，結果如表1所示。

表1 不同公平偏差限制下的最優(yōu)解

公平偏差限制（W） 社會成本（￥） 基尼系數(shù) 滿足公平偏差的投入成本（￥） (投入成本/社會成本)x100%

1.00 9207.33 0.68 / /

0.90 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.80 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.70 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.60 11103.83 0.51 1896.49 20.60%

0.50 12335.88 0.48 3128.54 33.98%

0.40 13875.61 0.36 4668.28 50.70%

0.30 15630.87 0.24 6423.54 69.77%

0.20 19479.88 0.15 10272.55 92.51%

0.10 24540.69 0.09 15333.35 124.30%

  由表1可知:（1）當  時，此時模型等價于不考慮公平性而只對社會成本最小化，因此這是一個社會成本最小化解決方案。（2） 取值過大時，并不會使得社會成本增加，這是因為如果不考慮公平性而僅僅最小化社會成本，那么也會存在一個基尼系數(shù)，如果  取值較大，僅最小化社會成本的方案也會被接受。（3）隨著決策者對應急物資分配的公平性逐漸重視，所需要投入的額外社會成本也逐漸增加。（4） 按照步長0.1逐漸減少，額外投入成本的斜率是上升的趨勢。例如：， 成本需要增加13.38%；，成本需要增加16.72%；同理，成本的增加量為19.07%、22.74%、31.79%。這說明決策者在選擇公平偏差限制時，要考慮成本投入帶來公平性改善的性價比是否在自己的心理預期內(nèi)。

  此外，我們還通過改變模型中的一些參數(shù)來探究成本與公平的博弈。表1展示了這一結果：增加車輛的旅行時間、降低車輛訪問需求點的服務時間以及增大車輛的容量都可以降低改善公平性所需要投入的成本。前兩種措施的本質(zhì)是使得車輛相較于之前可以訪問更多的需求點從而減少車輛的使用，降低了發(fā)車費用；此外，同一輛車訪問更多的需求點也有利于同一車輛上的物資通過轉移的方式提升公平性。增加車輛容量的本質(zhì)是增大了供給，因此會降低需求點的剝奪成本；此外容量的提升也有助于需求點之間應急物資通過轉移來改善公平性。

表1 不同公平偏差下成本的投入

3  結  論

本研究考慮兼顧社會成本與公平性的應急物資分配和路由調(diào)度。首先,為強調(diào)人道主義救援公平性原則，引入了福利經(jīng)濟學中的基尼系數(shù)并將其納入約束條件中，以社會成本最小化為目標構建了一個與決策者交互的應急物資分配模型并且探究了成本與公平之間的權衡。然后，以2010年玉樹地震為案例背景做對比分析，以展示不同公平水平下成本的投入。最后，通過實施敏感性分析來討論不同旅行時間、服務時間以及車輛容量下公平與成本之間的博弈。

未來研究可考慮需求不確定的情景下成本與公平的博弈，也可以考慮多品類物資的分配與路由規(guī)劃。此外，考慮將代表公平函數(shù)的基尼系數(shù)納入目標函數(shù)中，構建單目標或者多目標規(guī)劃并探究尋優(yōu)方法也是一個可行的方向。

本文來源：《物流科技》http://m.k2057.cn/w/jg/30901.html